O Problema de Monty Hall

Pense na seguinte situação: você está em um programa de televisão e tem a chance de ganhar um belo prêmio - digamos, um carro. Para isso, o apresentador lhe mostra 3 portas fechadas. Atrás de uma delas está o prêmio (no nosso caso, um carro de luxo). Nas outras duas, não há nada.

Então você escolhe uma das portas e o apresentador, que sabe onde o prêmio está, abre uma das outras duas, revelando que não há nada atrás dela. Ou seja, nesta etapa do jogo restaram duas portas fechadas.

Aqui, o apresentador lhe faz uma pergunta crucial: você quer ficar com a sua escolha original ou deseja trocar? E aí, o que você faz?

É mais vantajoso trocar de porta, permanecer com a inicial ou tanto faz?

Let's Make a Deal

A pergunta anterior foi feita a outras centenas de pessoas em um programa televisivo dos Estados Unidos chamado Let's Make a Deal, apresentado por Monty Hall (daí o nome do problema).

Esse dilema ficou tão famoso que várias pessoas se debruçaram sobre o problema e ele ficou muito conhecido no ramo da probabilidade e estatística.

O curiosos é que muitas pessoas respondem errado ao questionamento e isso prova como a nossa mente é falha ao se tratar de probabilidade. Muitos dizem que a escolha é indiferente, pois as chances de acertar e de errar o prêmio são as mesmas: 50%, já que temos duas portas no final.

Outros dizem que permanecer com a escolha original é o certo a se fazer, pois supostamente o apresentador estaria tentando te convencer a errar quando pergunta se você deseja mudar de opção.

Mas poucas pessoas fazem a escolha certa: trocar de porta.

A solução do Problema de Monty Hall

Exatamente, trocar de porta quando o apresentar lhe dá essa chance é a escolha certa. Vejamos o motivo.

Inicialmente, você tem 3 opções de escolha. Como você está chutando e não faz ideia de onde está o prêmio, tem uma chance inicial de 1/3 de acertar a porta. Isto significa que a cada 3 vezes que você escolhesse, acertaria 1 vez.

Então, o apresentador abre uma das outras duas portas, sem o prêmio. E aqui entra uma parte crucial do problema: o apresentador interfere no jogo, pois sabe onde está o prêmio e nunca vai abrir essa porta.

Isso significa que sempre que você errar a escolha inicial - o que acontece em 2/3 das vezes - o apresentador vai abrir uma porta sem nada e te deixar com a porta do prêmio, caso queira mudar para ela.

Apenas em 1/3 das vezes, quando você acertar a escolha inicial, o apresentador terá que abrir uma das duas portas sem nada (pois a que contém o prêmio é a que você pegou) e te deixará com a outra sem nada.

O pulo do gato aqui é que sempre que você erra a primeira escolha, é vantajoso trocar. E isso acontece na maioria das vezes, ou 66,66% delas, para ser mais exato. Quando você abre mão da sua escolha original, está dobrando suas chances de ganhar de 1/3 para 2/3.

Se você ainda não entendeu, vamos exemplificar com um caso mais exagerado.

Imagine que ao invés de 3 você tivesse 100 portas para escolher no começo. A dinâmica do jogo é a mesma. Você escolhe uma e agora o apresentador abre 98 portas sem nada, novamente te deixando com duas para escolher.

Não parece mais obvio, agora, que trocar é vantajoso? Justamente porque a chance de você ter acertado no começo é muito pequena (nesse caso, é de 1%).

A lógica é a mesma para 3 portas, só que com 1/3 de chance de acertar, o que continua sendo menor do que de errar.

Pronto! Agora, se você eventualmente vier a participar de um programa e tiver que fazer uma escolha dessas, vai dobrar suas chances de acertar.