Temperamento Justo e Matemática

Este texto vem em resposta a indagações levantadas na matéria ”Música Temperada: de Pitágoras à Bach”, então recomendo, como ponto de partida, a leitura da referida matéria, aqui mesmo no Blog do Gesiel.

Partiremos da seguinte questão: as frações não estão invertidas (numerador-denominador)?

Não necessariamente!

Alguns povos da antiguidade, dentre eles os gregos, portanto Pitágoras, grafavam as frações de maneira inversa ao que conhecemos hoje. O denominador era colocado na parte superior da fração, e por consequência o numerador na parte inferior. Mas isto não tem nada a ver com música e portanto a explicação será um pouco mais profunda!

O monocórdio de Pitágoras consiste em uma prancha de madeira com uma corda esticada na transversal e ao tocar desta corda, origina-se o som. Pitágoras observou que ao colocar um cavalete de madeira na metade do comprimento da corda, esticando-a, as vibrações dobravam, sendo esta a principal dúvida na explicação matemática através de figuras: frações.

Ao mover o cavalete para o centro da corda, sim, estamos na metade da mesma, portanto ½, mas em relação à frequência das ondas sonoras, cujo quociente é denominado Hertz, ela não diminui à metade, inverte-se a razão, e neste caso, dobra-se a frequência, ou seja 2/1. O que em matemática é chamado de "inversamente proporcional".

Como exemplo, vamos supor que a corda livre utilizada por Pitágoras em seu monocórdio, ao ser tocada gerasse um frequência de 440Hz, façamos então os cálculos, lembrando que este exemplo está levando em consideração apenas os cálculos de Pitágoras para os intervalos justos:

As experiências de Pitágoras levaram ao que ficou conhecido como “temperamento justo”, pois ele notou que se dividisse o comprimento da corda em três partes iguais e colocasse o cavalete na segunda parte, seria matematicamente igual a dividir a frequência das ondas em duas partes e multiplica-las por três, 3/2. Da mesma forma, se dividisse a corda em quatro partes e transferisse o cavalete para a terceira parte, a razão para a frequência das ondas sonoras seriam 4/3 .

Notem que a primeira movimentação do cavalete resultou em uma oitava ascendente em relação ao som que se obteve com a corda sem cavalete. Na segunda mudança, 3/2, uma quinta; e na terceira mudança, 4/3, uma quarta, intervalos estes conhecidos como “justos” daí o nome “temperamento justo”. Se você deseja saber um pouco mais sobre os intervalos e suas designações, assista as playlists "Intervalos" e "Inversão de Intervalos" no canal "Harmonia Necessária", tudo o que o músico não pode deixar de saber.

A importância do temperamento justo reside no fato de que a partir da onda sonora obtida ao tocar a corda com o cavalete, à razão de 2/3 da corda, portanto uma quinta justa, podemos sobrepor a razão da frequência e obter todas notas musicais.

Usando ainda, como exemplo, o monocórdio com a corda solta gerando uma frequência de 440Hz – A3, teremos como frequência resultante da quinta: 660Hz - E4. Para encontrar a frequência da próxima quinta partimos da frequência de E4 - 660Hz, e aplicamos a razão da quinta 3/2, resultando em 990Hz – B4.

Seguindo este pensamento, chegamos a todas as notas musicais.

Sendo assim o monocórdio de Pitágoras deu origem ao que conhecemos como “ciclo das quintas”.

Claro que ao realizar esta multiplicação da frequência, iremos chegar a números absurdos para um instrumento de apenas uma corda com comprimento de cerca de um metro. Entra aqui então, a fração utilizada para se obter a oitava, 2/1, o que vai gerar frações com números bem difíceis de precisar em uma corda.

Vale lembrar que a maioria dos números utilizados aqui como exemplo são números aproximados, e esta aproximação é um dos fatores que complicam um pouco o temperamento justo.

Como explicado na matéria ”Música Temperada: de Pitágoras à Bach”, o ciclo das quintas, se fosse colocado em uma espiral, não se fecharia, e lá na matéria original este fato é explicado e detalhado, mas se ainda não conseguiu entender, novamente devemos recorrer a matemática, pois nesta conta chega-se à terça maior, com uma fração de 81/64, algo difícil de se localizar no monocórdio, então em algum momento na história da música, a terça aproximou-se à razão de 5/4, gerando um problema que reapresento aqui.

Considerando A3 – 440Hz, e aplicando a razão aproximada da terça maior,  5/4, obtemos:

Mas não há dúvidas, por ser um fenômeno físico, que a oitava ascendente de A3 - 440Hz, é A4 – 880Hz. 

Este problema foi resolvido ao longo da história, mas esta explicação ficará apenas no artigo original, então, satisfaça sua curiosidade acessando o texto, aqui mesmo no Blog do Gesiel, ou assistindo o vídeo no canal “No Tempo da Música”.

REFERÊNCIAS:

CONTADOR, P. R. M. Matemática, uma breve história, volume 1. São Paulo: Livraria da Física, 2012.